Chapter 6 Discrete Random Variables

章节小节 / Chapter Sections

6.1 Discrete Random Variables

离散随机变量的基本概念、概率分布和性质

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6.2 Finding the Cumulative Distribution Function

离散随机变量的累积分布函数

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6.3 Expected Value of a Discrete Random Variable

离散随机变量的期望值

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6.4 Variance of a Discrete Random Variable

离散随机变量的方差

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6.5 Expected Value and Variance of a Function of X

随机变量函数的期望值和方差

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6.6 Solving Problems Involving Random Variables

随机变量问题的求解

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6.7 Using Discrete Uniform Distribution as a Model

离散均匀分布作为模型

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核心概念 / Core Concepts

随机变量 / Random Variable

将样本空间中的每个结果映射到实数的函数，记作 X

离散随机变量 / Discrete Random Variable

取值有限或可数无限的随机变量

概率质量函数 / Probability Mass Function

P(X = x)，描述离散随机变量取特定值的概率

累积分布函数 / Cumulative Distribution Function

F(x) = P(X ≤ x)，描述随机变量小于等于某值的概率

期望值 / Expected Value

E(X) = Σx·P(X = x)，随机变量的平均值

方差 / Variance

Var(X) = E(X²) - [E(X)]²，衡量随机变量的离散程度

重要公式 / Key Formulas

概率质量函数：\(P(X = x)\)

概率归一化：\(\sum P(X = x) = 1\)

累积分布函数：\(F(x) = P(X \leq x)\)

期望值：\(E(X) = \sum x \cdot P(X = x)\)

方差：\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)

函数期望值：\(E(g(X)) = \sum g(x) \cdot P(X = x)\)

线性变换：\(E(aX + b) = aE(X) + b\)

方差变换：\(Var(aX + b) = a^2Var(X)\)

应用场景 / Applications

掷骰子实验：研究离散随机变量的基本性质

抛硬币实验：二项分布的基础模型

质量控制：产品合格率分析

市场调研：消费者选择行为分析

风险管理：保险和金融风险评估

游戏理论：策略选择和概率分析